傅里叶变换	拉普拉斯变换	Z变换
定义	（t换为k，jω换为$e^j\omega$得DTFT）
正变换	$F(j\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j{\omega}t}dt$	$F(s)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-st}dt$	$F(z)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}f(k)z^{-k}$
反变换	$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(j\omega)e^{-j{\omega}t}d\omega$	$f(t)=\frac{1}{2{\pi}j}\int_{\sigma-\infty}^{\sigma+\infty}F(s)e^{-st}ds$
性质
线性
延时特性	$f(t-t_0){\leftrightarrow}F(j\omega)e^{-j{\omega}t_0}$	$f(t-t_0){\leftrightarrow}F(s)e^{-st_0}$	增序：$f(k+n){\leftrightarrow}z^n[F(z)-\sum_{i=0}^{n-1}z^{-i}f(i)]$
移频特性	$f(t)e^{j\omega_ct}{\leftrightarrow}F[j(\omega-\omega_c)]$	$f(t)e^{s_0t}{\leftrightarrow}F(s-s_0)]$	减序：$f(k-n){\leftrightarrow}z^{-n+1}[F(z)+\sum_{i=-1}^{-n}z^{-i}f(i)]$
尺度变换	$f(at)\leftrightarrow\frac{1}{\|a\|}F(j\frac{\omega}{a})$	$f(at){\leftrightarrow}\frac{1}{\|a\|}F(\frac{s}{a})$	$a^kf(k){\leftrightarrow}F(\frac{z}{a})$
奇偶虚实性
对称特性	$f(t){\leftrightarrow}F(j\omega){\Longleftrightarrow}F(jt){\leftrightarrow}2{\pi}f(-\omega)$	$f(t){\leftrightarrow}F(s){\Longleftrightarrow}F(t){\leftrightarrow}2{\pi}jf(-s)$
时域微分	$\frac{d}{dt}f(t){\leftrightarrow}j{\omega}F(j\omega)$	$\frac{d}{dt}f(t){\leftrightarrow}sF(s)-f(0^-)$
时域积分	$\int_{-\infty}^{t}f(\tau)d\tau{\leftrightarrow}{\pi}F(0)\delta(\omega)+\frac{1}{j\omega}F(j\omega)$	$\int_{0^-}^{t}f(\tau)d\tau{\leftrightarrow}\frac{F(s)}{s}$
频域微分	$-jtf(t)\leftrightarrow\frac{d}{d\omega}F(j\omega)$	$tf(t)\leftrightarrow-\frac{d}{ds}F(s)$	$kf(k)\leftrightarrow-z\frac{d}{dz}F(z)$
频域积分	${\pi}f(0)\delta(t)-\frac{f(t)}{jt}\leftrightarrow\int_{-\infty}^{\omega}F(j\Omega)d\Omega$	$\frac{f(t)}{t}\leftrightarrow\int_{s}^{\infty}F(p)dp$
卷积定理	$\begin{cases}f_1(t)*f_2(t){\leftrightarrow}F_1(j\omega)F_2(j\omega)\\f_1(t)f_2(t){\leftrightarrow}\frac{1}{2\pi}F_1(j\omega)*F_2(j\omega)\end{cases}$	$\begin{cases}f_1(t)*f_2(t){\leftrightarrow}F_1(s)F_2(s)\\f_1(t)f_2(t){\leftrightarrow}\frac{1}{2j\pi}F_1(s)*F_2(s)\end{cases}$	$f_1(k)*f_2(k){\leftrightarrow}F_1(z)F_2(z)$
初值定理		$f(0^+)=\lim_{t\rightarrow0^+}f(t)=\lim_{s\rightarrow\infty}sF(s)$等	$f(0)=\lim_{z\rightarrow\infty}F(z)$
终值定理		$f(\infty)=\lim_{t\rightarrow\infty}f(t)=\lim_{s\rightarrow0}sF(s)$等	$f(\infty)=\lim_{z\rightarrow1}(z-1)F(z)$

常用变换	傅里叶变换	拉普拉斯变换	Z变换
鼠：$\delta(t)$	1	$1$
牛：$C$	$2{\pi}C\delta(\omega)$
虎：$\epsilon(t)$	${\pi}\delta(\omega)+\frac{1}{j\omega}$	$\frac{1}{s}$	$\frac{z}{z-1}$
兔：$sgn(t)$	$\frac{2}{j\omega}$
龙：$e^{j\omega_ct}$	$2{\pi}\delta(\omega-\omega_c)$
蛇：$cos\omega_ct$	${\pi}[\delta(\omega+\omega_c)+\delta(\omega-\omega_c)]$	$cos\omega_ct\epsilon(t){\leftrightarrow}\frac{s}{s^2+\omega_c^2}$	$cos{\beta}kT\epsilon(k)\leftrightarrow\frac{z(z-cos{\beta}T)}{z^2-2zcos{\beta}T+1}$
马：$sin\omega_ct$	$j{\pi}[\delta(\omega+\omega_c)-\delta(\omega-\omega_c)]$	$sin\omega_ct\epsilon(t){\leftrightarrow}\frac{\omega_c}{s^2+\omega_c^2}$	$sin{\beta}kT\epsilon(k)\leftrightarrow\frac{zsin{\beta}T}{z^2-2zcos{\beta}T+1}$
羊：$\frac{1}{2}\sum_{n=-\infty}^{\infty}A_ne^{jn{\Omega}t}$	$\pi\sum_{n=-\infty}^{\infty}A_n\delta(\omega-n\Omega)$
猴：$\delta_T(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)$	$\sum^\infty_{n=-\infty}e^{jnT\omega}=\Omega\delta_\Omega(\omega),\Omega=\frac{2\pi}{T}$
鸡：$A(1-\frac{\|t\|}{\tau}),\|t\|\leq\frac{\tau}{2}$	$A{\tau}Sa^2(\frac{\tau}{2}\omega)$
狗：$AG_{\tau}(t)=A,\|t\|\leq\frac{\tau}{2}$	$A{\tau}Sa(\frac{\tau}{2}\omega)$
猪：$e^{-{\alpha}t}\epsilon(t),\alpha>0$	$\frac{1}{\alpha+j\omega}$	$\frac{1}{s+\alpha}$
	$e^{-{\alpha}\|t\|}\epsilon(t),\alpha>0$	$\frac{2\alpha}{\alpha^2+\omega^2}$
$e^{\alpha{t}}t^n\epsilon(t)$		$\frac{n!}{(s-\alpha)^{n+1}}$
$\delta^{(n)}(t)$		$s^n$
$v^k\epsilon(k)$			$\frac{z}{z-v}$
$kv^{k-1}\epsilon(k)$			$\frac{z}{(z-v)^2}$
$C^n_kv^{k-n}\epsilon(k)$			$\frac{z}{(z-v)^{n+1}}$